Pirmskaitļa nejaušas izvēles varbūtības aprēķināšana

ROBERTS BRŪKS / Getty Images

Skaitļu teorija ir filiāle matemātika kas attiecas uz veselu skaitļu kopu. To darot, mēs sevi nedaudz ierobežojam, jo ​​mēs tieši nepētām citus skaitļus, piemēram, iracionālos. Tomēr cita veida reāli skaitļi tiek izmantoti. Papildus tam varbūtības priekšmetam ir daudz savienojumu un krustpunktu ar skaitļu teoriju. Viens no šiem savienojumiem ir saistīts ar izplatīšanu pirmskaitļi. Konkrētāk mēs varam jautāt, kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēts vesels skaitlis no 1 līdz x ir pirmskaitlis?

Pieņēmumi un definīcijas

Tāpat kā ar jebkuru matemātikas problēmu, ir svarīgi saprast ne tikai to, kādi pieņēmumi tiek izdarīti, bet arī visu problēmas galveno terminu definīcijas. Šajā uzdevumā mēs ņemam vērā pozitīvos veselos skaitļus, kas nozīmē veselus skaitļus 1, 2, 3, . . . līdz kādam skaitlim x . Mēs nejauši izvēlamies vienu no šiem skaitļiem, kas nozīmē, ka visi x no tiem, visticamāk, tiks izvēlēti.

Mēs cenšamies noteikt varbūtību, ka tiek izvēlēts pirmskaitlis. Tādējādi mums ir jāsaprot pirmskaitļa definīcija. Pirmskaitlis ir pozitīvs vesels skaitlis, kuram ir tieši divi faktori. Tas nozīmē, ka vienīgie pirmskaitļu dalītāji ir viens un pats skaitlis. Tātad 2,3 un 5 ir pirmskaitļi, bet 4, 8 un 12 nav pirmskaitļi. Mēs atzīmējam, ka, tā kā pirmskaitlī ir jābūt diviem faktoriem, skaitlis 1 ir nē galvenais.

Risinājums zemiem numuriem

Šīs problēmas risinājums ir vienkāršs maziem skaitļiem x . Viss, kas mums jādara, ir vienkārši saskaitīt pirmskaitļus, kas ir mazāki vai vienādi x . Mēs sadalām pirmskaitļu skaitu, kas ir mazāks par vai vienāds ar x pēc numura x .

Piemēram, lai atrastu varbūtību, ka pirmskaitlis tiek izvēlēts no 1 līdz 10, pirmskaitļu skaits no 1 līdz 10 ir jādala ar 10. Skaitļi 2, 3, 5, 7 ir pirmskaitļi, tāpēc varbūtība, ka pirmskaitļi ir atlasītais ir 4/10 = 40%.

Varbūtību, ka pirmskaitlis tiek izvēlēts no 1 līdz 50, var atrast līdzīgā veidā. Pirmskaitļi, kas ir mazāki par 50, ir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 un 47. Ir 15 pirmskaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar 50. Tādējādi varbūtība, ka pirmskaitlis tiek izvēlēts nejauši, ir 15/50 = 30%.

Šo procesu var veikt, vienkārši saskaitot pirmskaitļus, ja vien mums ir pirmskaitļu saraksts. Piemēram, ir 25 pirmskaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar 100. (Tādējādi varbūtība, ka nejauši izvēlēts skaitlis no 1 līdz 100 ir pirmskaitļi, ir 25/100 = 25%.) Tomēr, ja mums nav pirmskaitļu saraksta, varētu būt apgrūtinoši skaitļošanas ziņā noteikt to pirmskaitļu kopu, kas ir mazāki vai vienādi ar doto skaitli x .

Pirmskaitļa teorēma

Ja jums nav to pirmskaitļu skaita, kas ir mazāki vai vienādi ar x , tad ir alternatīvs veids, kā atrisināt šo problēmu. Risinājums ietver matemātisko rezultātu, kas pazīstams kā pirmskaitļa teorēma. Šis ir apgalvojums par kopējo pirmskaitļu sadalījumu, un to var izmantot, lai tuvinātu varbūtību, kuru mēs cenšamies noteikt.

Pirmskaitļu teorēma nosaka, ka ir aptuveni x / ln( x ) pirmskaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar x . Šeit ln( x ) apzīmē naturālo logaritmu x , vai, citiem vārdiem sakot, logaritms ar bāzi numurs un . Kā vērtība x palielina aproksimācija uzlabojas tādā nozīmē, ka mēs redzam relatīvās kļūdas samazināšanos starp pirmskaitļu skaitu, kas ir mazāki par x un izteiksme x / ln( x ).

Pirmskaitļu teorēmas pielietojums

Mēs varam izmantot pirmskaitļu teorēmas rezultātu, lai atrisinātu problēmu, kuru mēs cenšamies risināt. Pēc pirmskaitļu teorēmas mēs zinām, ka ir aptuveni x / ln( x ) pirmskaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar x . Turklāt kopā ir x pozitīvi veseli skaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar x . Tāpēc varbūtība, ka nejauši izvēlēts skaitlis šajā diapazonā ir galvenais, ir ( x / ln( x ) ) / x = 1/ln( x ).

Piemērs

Tagad mēs varam izmantot šo rezultātu, lai tuvinātu varbūtību nejauši atlasīt pirmskaitli no pirmā miljardu veseli skaitļi. Mēs aprēķinām miljarda naturālo logaritmu un redzam, ka ln(1 000 000 000) ir aptuveni 20,7 un 1/ln(1 000 000 000) ir aptuveni 0,0483. Tādējādi mums ir aptuveni 4,83% varbūtība nejauši izvēlēties pirmskaitli no pirmā miljarda veselu skaitļu.