Kas ir reāls skaitlis?

Reālo skaitļu kopu var attēlot kā skaitļu līniju. C.K. Teilore

Kas ir cipars? Nu tas ir atkarīgs. Ir dažādi skaitļu veidi, un katram ir savas īpašās īpašības. Viena veida numurs, uz kura statistika , varbūtība, un liela daļa matemātikas ir balstīta, tiek saukta par reālu skaitli.

Lai uzzinātu, kas ir reāls skaitlis, vispirms īsi apskatīsim cita veida skaitļus.

Ciparu veidi

Vispirms mēs mācāmies par skaitļiem, lai skaitītu. Mēs sākām ar skaitļu 1, 2 un 3 saskaņošanu ar pirkstiem. Tad mēs turpinājām iet tik augstu, cik varējām, kas, iespējams, nebija tik augsts. Šie skaitīšanas skaitļi vai naturālie skaitļi bija vienīgie skaitļi, par kuriem mēs zinājām.

Vēlāk, strādājot ar atņemšanu, negatīvs tika ieviesti veseli skaitļi. Pozitīvo un negatīvo veselo skaitļu kopu sauc par veselo skaitļu kopu. Drīz pēc tam tika apsvērti racionālie skaitļi, ko sauc arī par daļdaļām. Tā kā katru veselu skaitli var uzrakstīt kā daļu ar 1 saucējā, mēs sakām, ka veseli skaitļi veido racionālo skaitļu apakškopu.

The senie grieķi sapratu, ka ne visus skaitļus var veidot kā daļskaitli. Piemēram, kvadrātsakni no 2 nevar izteikt kā daļskaitli. Šāda veida skaitļus sauc par iracionāliem skaitļiem. Iracionālu skaitļu ir daudz, un zināmā mērā pārsteidzoši ir vairāk iracionālu skaitļu nekā racionālu skaitļu. Citi neracionālie skaitļi ietver pi un un .

Decimāldaļas paplašinājumi

Katru reālo skaitli var uzrakstīt kā decimāldaļu. Dažādiem reālo skaitļu veidiem ir dažādi decimālskaitļu paplašinājumi. Racionāla skaitļa decimālais paplašinājums beidzas, piemēram, 2, 3,25 vai 1,2342, vai atkārtojas, piemēram, 0,33333. . . Vai .123123123. . . Pretstatā tam iracionāla skaitļa decimālais paplašinājums ir nebeidzams un neatkārtojas. Mēs to varam redzēt pi decimālajā izvērsumā. Pī ir nebeidzama ciparu virkne, un turklāt nav ciparu virknes, kas atkārtojas bezgalīgi.

Reālo skaitļu vizualizācija

Reālos skaitļus var vizualizēt, katru no tiem saistot ar vienu no bezgalīgi daudzajiem punktiem gar taisnu līniju. Reāliem skaitļiem ir secība, kas nozīmē, ka jebkuriem diviem atšķirīgiem reālajiem skaitļiem mēs varam teikt, ka viens ir lielāks par otru. Pēc vienošanās, virzoties pa kreisi pa reālo skaitļu līniju, atbilst mazākiem un mazākiem skaitļiem. Pārvietošanās pa labi pa reālo skaitļu līniju atbilst arvien lielākiem skaitļiem.

Reālo skaitļu pamatīpašības

Reālie skaitļi darbojas tāpat kā citi skaitļi, ar kuriem mēs esam pieraduši rīkoties. Mēs varam tos saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt (ja vien mēs nedalām ar nulli). Saskaitīšanas un reizināšanas secībai nav nozīmes, jo pastāv komutatīva īpašība. Sadales īpašība norāda, kā reizināšana un saskaitīšana mijiedarbojas viena ar otru.

Kā minēts iepriekš, reālajiem skaitļiem ir secība. Doti jebkuri divi reāli skaitļi x un Y , mēs zinām, ka patiess ir tikai viens no šiem apgalvojumiem:

x = Y , x < Y vai x > Y .

Vēl viens īpašums – pilnība

Īpašums, kas reālos skaitļus atšķir no citām skaitļu kopām, piemēram, racionālie skaitļi, ir īpašība, kas pazīstama kā pabeigtība. Pabeigtība ir nedaudz tehniski izskaidrojama, taču intuitīvs priekšstats ir tāds, ka racionālo skaitļu kopai ir nepilnības. Reālo skaitļu kopai nav nekādu atstarpju, jo tā ir pilnīga.

Kā ilustrāciju apskatīsim racionālo skaitļu secību 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, . . . Katrs šīs secības termins ir tuvinājums pi, kas iegūts, saīsinot pi decimāldaļas paplašinājumu. Šīs secības termini kļūst arvien tuvāk pi. Tomēr, kā jau minējām, pi nav racionāls skaitlis. Mums ir jāizmanto iracionāli skaitļi, lai iespraustu skaitļu līnijas caurumus, kas rodas, ņemot vērā tikai racionālos skaitļus.

Cik reālo skaitļu?

Nav pārsteigums, ka ir bezgalīgi daudz reālu skaitļu. To var redzēt diezgan viegli, ja ņemam vērā, ka veseli skaitļi veido reālo skaitļu apakškopu. To varējām redzēt arī apzinoties, ka skaitļu līnijai ir bezgalīgs punktu skaits.

Pārsteidzoši ir tas, ka reālo skaitļu saskaitīšanai izmantotā bezgalība atšķiras no bezgalības, ko izmanto veselo skaitļu saskaitīšanai. Veseli skaitļi, veseli skaitļi un racionālie skaitļi ir saskaitāmi bezgalīgi. Reālo skaitļu kopa ir nesaskaitāmi bezgalīga.

Kāpēc tos saukt par īstiem?

Reālie skaitļi iegūst savu nosaukumu, lai tos atšķirtu no vēl tālāka skaitļa jēdziena vispārinājuma. Iedomātais skaitlis i ir definēts kā negatīvā kvadrātsakne. Jebkurš reālais skaitlis, kas reizināts ar i ir pazīstams arī kā iedomāts skaitlis. Iedomāti skaitļi noteikti paplašina mūsu priekšstatu par skaitli, jo tie nepavisam nav tie, par kuriem mēs domājām, kad pirmo reizi mācījāmies skaitīt.