Ievads vektoru matemātikā

Tatjana Koļesņikova / Getty Images

Šis ir pamata, lai gan, cerams, diezgan visaptverošs ievads darbā ar vektoriem. Vektori izpaužas dažādos veidos, sākot no pārvietošanās, ātruma un paātrinājuma līdz spēkiem un laukiem. Šis raksts ir veltīts vektoru matemātikai; to piemērošana konkrētās situācijās tiks aplūkota citur.

Vektori un skalāri

A vektora daudzums , vai vektors , sniedz informāciju ne tikai par lielumu, bet arī par daudzuma virzienu. Sniedzot norādes uz māju, nepietiek tikai pateikt, ka tā atrodas 10 jūdžu attālumā, bet ir jānorāda arī šo 10 jūdžu virziens, lai informācija būtu noderīga. Mainīgie, kas ir vektori, tiks norādīti ar treknraksta mainīgo, lai gan parasti virs mainīgā tiek rādīti vektori, kas apzīmēti ar mazām bultiņām.

Tāpat kā mēs nesakām, ka otra māja atrodas -10 jūdžu attālumā, vektora lielums vienmēr ir pozitīvs skaitlis vai drīzāk vektora “garuma” absolūtā vērtība (lai gan daudzums var nebūt garums, tas var būt ātrums, paātrinājums, spēks utt.) Negatīvs vektora priekšā nenorāda lieluma izmaiņas, bet gan vektora virzienu.

Iepriekš minētajos piemēros attālums ir skalārais lielums (10 jūdzes), bet pārvietošanās ir vektora daudzums (10 jūdzes uz ziemeļaustrumiem). Tāpat ātrums ir skalārs lielums, bet ātrums ir a vektors daudzums.

A vienības vektors ir vektors, kura lielums ir viens. Vektors, kas attēlo vienības vektoru, parasti ir arī treknrakstā, lai gan tam būs karāts ( ^ ) virs tā, lai norādītu mainīgā lieluma vienības raksturu. Vienības vektors x , ja rakstīts ar karātu, parasti tiek lasīts kā 'x-hat', jo karāts izskatās kā cepure uz mainīgā lieluma.

The nulles vektors , vai nulles vektors , ir vektors, kura lielums ir nulle. Tas ir rakstīts kā 0 šajā rakstā.

Vektoru komponenti

Vektori parasti ir orientēti uz koordinātu sistēmu, no kurām populārākā ir divdimensiju Dekarta plakne. Dekarta plaknei ir horizontālā ass, kas apzīmēta ar x, un vertikālā ass ar y. Dažiem uzlabotiem vektoru lietojumiem fizikā ir jāizmanto trīsdimensiju telpa, kurā asis ir x, y un z. Šajā rakstā galvenokārt tiks aplūkota divdimensiju sistēma, lai gan jēdzienus ar zināmu piesardzību var paplašināt līdz trīs dimensijām bez pārāk lielām grūtībām.

Vektorus vairāku dimensiju koordinātu sistēmās var sadalīt savās komponentu vektori . Divdimensiju gadījumā tas rada a x-komponents un a y-komponents . Sadalot vektoru tā komponentos, vektors ir komponentu summa:

F = F_x + F_Y

teta F_xF_YF

F_x / F = cos teta un F_Y / F = bez teta kas mums dod
F_x = F cos teta un F_Y = F bez teta

Ņemiet vērā, ka skaitļi šeit ir vektoru lielumi. Mēs zinām komponentu virzienu, bet mēs cenšamies atrast to lielumu, tāpēc mēs noņemam virziena informāciju un veicam šos skalāros aprēķinus, lai noskaidrotu lielumu. Tālāku trigonometrijas pielietojumu var izmantot, lai atrastu citas attiecības (piemēram, pieskares), kas attiecas uz dažiem no šiem lielumiem, bet es domāju, ka pagaidām ar to pietiek.

Daudzus gadus vienīgā matemātika, ko skolēns apgūst, ir skalārā matemātika. Ja jūs ceļojat 5 jūdzes uz ziemeļiem un 5 jūdzes uz austrumiem, jūs esat ceļojis 10 jūdzes. Pievienojot skalāros daudzumus, tiek ignorēta visa informācija par norādēm.

Vektori tiek manipulēti nedaudz atšķirīgi. Ar tiem manipulējot, vienmēr jāņem vērā virziens.

Komponentu pievienošana

Kad pievienojat divus vektorus, jūs paņēmāt vektorus un novietojāt tos līdz galam un izveidojāt jaunu vektoru, kas darbojas no sākuma punkta līdz beigu punktam. Ja vektoriem ir vienāds virziens, tas nozīmē tikai lielumu pievienošanu, bet, ja tiem ir dažādi virzieni, tas var kļūt sarežģītāks.

Jūs varat pievienot vektorus, sadalot tos komponentos un pēc tam pievienojot komponentus, kā norādīts tālāk.

a + b = c
a_x + a_Y + b_x + b_Y =
( a_x + b_x ) + ( a_Y + b_Y ) = c_x + c_Y

Divi x komponenti radīs jaunā mainīgā x komponentu, savukārt divi y komponenti rada jaunā mainīgā y komponentu.

Vektoru pievienošanas īpašības

Vektoru pievienošanas secībai nav nozīmes. Faktiski vairākas skalārās saskaitīšanas īpašības attiecas uz vektoru pievienošanu:

Vektora pievienošanas identitātes īpašība
a + 0 = a
Vektora pievienošanas apgrieztā īpašība
a + - a = a - a = 0
Vektora pievienošanas atstarojošā īpašība
a = a
Komutatīvais īpašums no vektora pievienošanas
a + b = b + a
Vektoru pievienošanas asociatīvā īpašība
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Vektoru pievienošanas pārejoša īpašība
Ja a = b un c = b , tad a = c

Vienkāršākā darbība, ko var veikt ar vektoru, ir reizināt to ar skalāru. Šī skalārā reizināšana maina vektora lielumu. Citiem vārdiem sakot, tas padara vektoru garāku vai īsāku.

Reizinot ar negatīvu skalāru, iegūtais vektors rādīs pretējā virzienā.

The skalārais produkts Divu vektoru izmantošana ir veids, kā tos reizināt kopā, lai iegūtu skalāro lielumu. Tas ir uzrakstīts kā divu vektoru reizinājums ar punktu vidū, kas apzīmē reizināšanu. Kā tādu to bieži sauc par punktu produkts no diviem vektoriem.

Lai aprēķinātu divu vektoru punktu reizinājumu, jāņem vērā leņķis starp tiem. Citiem vārdiem sakot, ja tiem būtu viens un tas pats sākumpunkts, kāds būtu leņķa mērījums ( teta ) starp viņiem. Punktu produkts ir definēts kā:

a * b = ab cos teta

ab abba

Gadījumos, kad vektori ir perpendikulāri (vai teta = 90 grādi), cos teta būs nulle. Tāpēc perpendikulāru vektoru punktu reizinājums vienmēr ir nulle . Kad vektori ir paralēli (vai teta = 0 grādi), cos teta ir 1, tāpēc skalārais reizinājums ir tikai lielumu reizinājums.

Šos glītos faktus var izmantot, lai pierādītu, ka, ja zināt komponentus, jūs varat pilnībā novērst teta nepieciešamību, izmantojot (divdimensiju) vienādojumu:

a * b = a_xb_x + a_Yb_Y

The vektora produkts ir rakstīts formā a x b , un to parasti sauc par krusta produkts no diviem vektoriem. Šajā gadījumā mēs reizinām vektorus un tā vietā, lai iegūtu skalāru lielumu, mēs iegūsim vektora lielumu. Šis ir sarežģītākais no vektoru aprēķiniem, ar kuriem mēs nodarbosimies, kā tas ir nē komutatīva un ietver šausmīgo izmantošanu labās rokas likums , pie kā es drīzumā nonākšu.

Lieluma aprēķināšana

Atkal mēs uzskatām divus vektorus, kas novilkti no viena un tā paša punkta ar leņķi teta starp viņiem. Mēs vienmēr ņemam mazāko leņķi, tāpēc teta vienmēr būs diapazonā no 0 līdz 180, un tāpēc rezultāts nekad nebūs negatīvs. Iegūtā vektora lielumu nosaka šādi:

Ja c = a x b , tad c = ab bez teta

Paralēlu (vai antiparalēlu) vektoru reizinājums vienmēr ir nulle

Vektora virziens

Vektora reizinājums būs perpendikulārs plaknei, kas izveidota no šiem diviem vektoriem. Ja jūs iztēlojaties plakni kā plakanu uz galda, rodas jautājums, vai iegūtais vektors iet uz augšu (no mūsu perspektīvas mūsu 'no tabulas') vai uz leju (vai 'iekļūst' tabulā, no mūsu perspektīvas).

Baigā labās rokas likums

Lai to noskaidrotu, jums jāpiemēro tas, ko sauc par labās rokas likums . Kad skolā mācījos fiziku, es riebjas labās rokas likums. Katru reizi, kad es to izmantoju, man bija jāizvelk grāmata, lai uzzinātu, kā tā darbojas. Cerams, ka mans apraksts būs nedaudz intuitīvāks nekā tas, ar kuru tiku iepazīstināts.

Ja Jums ir a x b jūs novietosiet savu labo roku visā garumā b lai jūsu pirksti (izņemot īkšķi) varētu izliekties, lai norādītu gar a . Citiem vārdiem sakot, jūs mēģināt izveidot leņķi teta starp plaukstu un četriem labās rokas pirkstiem. Šajā gadījumā īkšķis tiks piestiprināts taisni uz augšu (vai ārpus ekrāna, ja mēģināt to izdarīt līdz datoram). Jūsu pirkstu locītavas būs aptuveni vienā līnijā ar abu vektoru sākumpunktu. Precizitāte nav būtiska, taču es vēlos, lai jūs saprastu, jo man nav šī attēla.

Ja tomēr apsverat b x a , jūs darīsit pretējo. Jūs pieliksit savu labo roku a un rādiet ar pirkstiem līdzi b . Mēģinot to izdarīt datora ekrānā, tas būs neiespējami, tāpēc izmantojiet savu iztēli. Jūs atklāsiet, ka šajā gadījumā jūsu iztēles īkšķis ir vērsts uz datora ekrānu. Tas ir iegūtā vektora virziens.

Labās puses noteikums parāda šādas attiecības:

a x b = - b x a

cabc

c_x = a_Yb_Ar - a_Arb_Y
c_Y = a_Arb_x - a_xb_Ar
c_Ar = a_xb_Y - a_Yb_x

ab c_xc_Y c

Nobeiguma vārdi

Augstākos līmeņos vektori var kļūt ārkārtīgi sarežģīti strādāt. Visi koledžas kursi, piemēram, lineārā algebra, daudz laika velta matricām (no kurām es laipni izvairījos šajā ievadā), vektoriem un vektoru telpas . Šis detalizācijas līmenis ir ārpus šī raksta darbības jomas, taču tam vajadzētu nodrošināt pamatus, kas nepieciešami lielākajai daļai vektoru manipulāciju, kas tiek veiktas fizikas klasē. Ja plānojat studēt fiziku padziļināti, mācību procesā jūs tiksit iepazīstināts ar sarežģītākām vektoru jēdzieniem.