Gadījuma mainīgā momenta ģenerēšanas funkcija

Gadījuma lieluma momentu ģenerējošā funkcija ir definēta kā paredzamā vērtība. C.K.Taylor

Viens veids, kā aprēķināt a vidējo un dispersiju varbūtības sadalījums ir atrast paredzamās vērtības no nejaušajiem mainīgajiem X un X ^divi. Mēs izmantojam apzīmējumu UN ( X ) un UN ( X ^divi), lai apzīmētu šīs paredzamās vērtības. Kopumā ir grūti aprēķināt UN ( X ) un UN ( X ^divi) tieši. Lai apietu šo grūtību, mēs izmantojam kādu progresīvāku matemātisko teoriju un aprēķinus. Gala rezultāts ir kaut kas tāds, kas atvieglo mūsu aprēķinus.

Šīs problēmas stratēģija ir definēt jaunu funkciju, jauna mainīgā lielumu t ko sauc par momenta ģenerēšanas funkciju. Šī funkcija ļauj mums aprēķināt momentus, vienkārši ņemot atvasinājumus.

Pieņēmumi

Pirms definējam momenta ģenerēšanas funkciju, vispirms iestatām posmu ar apzīmējumiem un definīcijām. Mēs ļaujam X esi a diskrētais gadījuma mainīgais . Šim nejaušajam mainīgajam ir varbūtības masas funkcija f ( x ). Parauga vieta, ar kuru mēs strādājam, tiks apzīmēta ar S .

Tā vietā, lai aprēķinātu paredzamo vērtību X , mēs vēlamies aprēķināt paredzamo vērtību eksponenciālai funkcijai, kas saistīta ar X . Ja ir pozitīvs reāls skaitlis r tāds, ka UN ( un^tX ) pastāv un visiem ir ierobežots t intervālā [- r , r ], tad mēs varam definēt momenta ģenerēšanas funkciju X .

Definīcija

Momenta ģenerēšanas funkcija ir iepriekš minētās eksponenciālās funkcijas paredzamā vērtība. Citiem vārdiem sakot, mēs sakām, ka momenta ģenerēšanas funkcija X piešķir:

M ( t ) = UN ( un^tX )

Šī paredzamā vērtība ir formula Σ un ^tx f ( x ), kur summēšana tiek pārņemta visu x iekš parauga vieta S . Tā var būt ierobežota vai bezgalīga summa atkarībā no izmantotās parauga telpas.

Īpašības

Momenta ģenerēšanas funkcijai ir daudz funkciju, kas savienojas ar citām varbūtības un matemātiskās statistikas tēmām. Dažas no tās svarīgākajām funkcijām ietver:

• Koeficients no un^tb ir varbūtība, ka X = b .
• Momenta ģenerēšanas funkcijām piemīt unikalitātes īpašība. Ja momenta ģenerēšanas funkcijas diviem nejaušiem mainīgajiem sakrīt, tad varbūtības masas funkcijām ir jābūt vienādām. Citiem vārdiem sakot, nejaušie mainīgie apraksta to pašu varbūtības sadalījumu.
• Momentu ģenerēšanas funkcijas var izmantot, lai aprēķinātu mirkļus X .

Momentu aprēķināšana

Iepriekšējā saraksta pēdējā vienība izskaidro momentu ģenerējošo funkciju nosaukumus un arī to lietderību. Daža progresīva matemātika saka, ka saskaņā ar mūsu izvirzītajiem nosacījumiem ir jebkuras funkcijas secības atvasinājums M ( t ) pastāv, kad t = 0. Turklāt šajā gadījumā mēs varam mainīt summēšanas un diferencēšanas secību attiecībā uz t lai iegūtu šādas formulas (visi summāri pārsniedz vērtības x parauga telpā S ):

• M '( t ) = S auto^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x^diviun^tx f ( x )
• M ''''( t ) = S x³un^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾'( t ) = S xⁿun^tx f ( x )

Ja mēs nosakām t = 0 iepriekš minētajās formulās, tad un^tx termiņš kļūst un ⁰= 1. Tādējādi iegūstam gadījuma lieluma momentu formulas X :

• M '(0) = UN ( X )
• M ''(0) = UN ( X ^divi)
• M ''''(0) = UN ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = UN ( Xⁿ )

Tas nozīmē, ka, ja momentu ģenerējošā funkcija pastāv konkrētam gadījuma mainīgajam, tad mēs varam atrast tās vidējo un dispersiju momentu ģenerējošās funkcijas atvasinājumu izteiksmē. Vidējais ir M '(0), un dispersija ir M ''(0) – [ M '(0)]^divi.

Kopsavilkums

Rezumējot, mums bija jāiedziļinās diezgan jaudīgā matemātikā, tāpēc dažas lietas tika noklusētas. Lai gan mums ir jāizmanto aprēķini iepriekšminētajam, galu galā mūsu matemātiskais darbs parasti ir vieglāks nekā momentu aprēķināšana tieši no definīcijas.