Kas ir Calculus? Definīcija un praktiskie pielietojumi

Matemātikas nozare pēta pārmaiņu tempus

Attēla avots / Getty Images

Calculus ir matemātikas nozare, kas ietver izmaiņu tempu izpēti. Pirms aprēķinu izgudrošanas visa matemātika bija statiska: tā varēja palīdzēt aprēķināt tikai objektus, kas bija pilnīgi nekustīgi. Bet Visums nepārtraukti kustās un mainās. Neviens objekts — no zvaigznēm kosmosā līdz subatomiskām daļiņām vai ķermeņa šūnām — vienmēr neatrodas miera stāvoklī. Patiešām, gandrīz viss Visumā pastāvīgi pārvietojas. Calculus palīdzēja noteikt, kā daļiņas, zvaigznes un matērija faktiski pārvietojas un mainās reālajā laikā.

Calculus izmanto daudzās jomās, kurās jūs parasti nedomājat, ka varētu izmantot tā jēdzienus. To vidū ir fizika, inženierzinātnes, ekonomika, statistika un medicīna. Aprēķinus izmanto arī tādās atšķirīgās jomās kā kosmosa ceļojumi, kā arī nosaka, kā medikamenti mijiedarbojas ar ķermeni un pat to, kā veidot drošākas struktūras. Jūs sapratīsit, kāpēc aprēķini ir noderīgi tik daudzās jomās, ja zināt mazliet par tā vēsturi, kā arī to, ko tas ir paredzēts darīt un mērīt.

Galvenās atziņas: aprēķina pamatteorēma

• Aprēķins ir izmaiņu ātruma izpēte.
• Gotfrīds Leibnics un Īzaks Ņūtons, 17. gadsimta matemātiķi, abi izgudroja aprēķinus neatkarīgi. Ņūtons to izgudroja pirmais, bet Leibnics radīja apzīmējumus, ko matemātiķi izmanto mūsdienās.
• Ir divu veidu aprēķini: Diferenciālrēķins nosaka lieluma izmaiņu ātrumu, bet integrālais aprēķins atrod lielumu, kurā ir zināms izmaiņu ātrums.

Kurš izgudroja kalkulāciju?

Aprēķinu 17. gadsimta otrajā pusē izstrādāja divi matemātiķi Gotfrīds Leibnics un Īzaks Ņūtons . Ņūtons vispirms izstrādāja aprēķinus un izmantoja to tieši fizisko sistēmu izpratnei. Neatkarīgi Leibnics izstrādāja aprēķinos izmantotos apzīmējumus. Vienkārši sakot, ja pamata matemātika izmanto tādas darbības kā plus, mīnuss, laiki un dalīšana (+, -, x un ÷), aprēķinos tiek izmantotas darbības, kas izmanto funkcijas un integrāļi lai aprēķinātu izmaiņu tempus.

Šie rīki ļāva Ņūtonam, Leibnicam un citiem matemātiķiem, kas sekoja, aprēķināt tādas lietas kā precīzs līknes slīpums jebkurā punktā. Stāsts par matemātiku izskaidro Ņūtona aprēķina fundamentālās teorēmas nozīmi:

'Atšķirībā no grieķu statiskās ģeometrijas, aprēķini ļāva matemātiķiem un inženieriem izprast kustību un dinamiskās izmaiņas mainīgajā pasaulē ap mums, piemēram, planētu orbītās, šķidrumu kustībā utt.'

Izmantojot aprēķinus, zinātnieki, astronomi, fiziķi, matemātiķi un ķīmiķi tagad varētu noteikt planētu un zvaigžņu orbītu, kā arī elektronu un protonu ceļu atomu līmenī.

Diferenciālis pret integrālrēķinu

Ir divas aprēķinu nozares: diferenciālrēķins un integrālrēķins. 'Diferenciālrēķini pēta atvasināto un integrāļa aprēķinu... integrāli,' atzīmē Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts. Taču tajā ir kas vairāk. Diferenciālrēķins nosaka lieluma izmaiņu ātrumu. Tas pārbauda slīpumu un līkņu izmaiņu ātrumus.

Šī nozare ir saistīta ar funkciju izmaiņu ātruma izpēti attiecībā uz to mainīgajiem lielumiem, īpaši izmantojot atvasinājumus un diferenciāļus. Atvasinājums ir grafa līnijas slīpums. Jūs varat atrast līnijas slīpumu, aprēķinot pacelties pāri skrējienam .

integrāļa aprēķins Turpretī mēģina atrast daudzumu, kurā ir zināms izmaiņu ātrums. Šī nozare koncentrējas uz tādiem jēdzieniem kā pieskares līniju slīpumi un ātrumi. Lai gan diferenciālrēķins koncentrējas uz pašu līkni, integrālais aprēķins attiecas uz telpu vai laukumu zem līkne. Integrālie aprēķini tiek izmantoti, lai aprēķinātu kopējo izmēru vai vērtību, piemēram, garumus, laukumus un tilpumus.

Calculus spēlēja neatņemamu lomu navigācijas attīstība 17. un 18. gadsimtā, jo tas ļāva jūrniekiem izmantot Mēness stāvokli, lai precīzi noteiktu vietējo laiku. Lai kartētu savu atrašanās vietu jūrā, navigatoriem bija jāspēj precīzi izmērīt gan laiku, gan leņķus. Pirms aprēķinu izstrādes kuģu navigatori un kapteiņi nevarēja darīt ne vienu, ne otru.

Aprēķini — gan atvasinātie, gan integrālie — palīdzēja uzlabot izpratni par šo svarīgo jēdzienu attiecībā uz Zemes līkni, attālumu, kas kuģiem bija jābrauc ap līkni, lai nokļūtu noteiktā vietā, un pat Zemes un jūru izvietojumu. , un kuģi attiecībā pret zvaigznēm.

Praktiski pielietojumi

Aprēķiniem ir daudz praktisku pielietojumu reālajā dzīvē. Daži no jēdzieni, kas izmanto aprēķinus ietver kustību, elektrību, siltumu, gaismu, harmonikas, akustiku un astronomiju. Calculus izmanto ģeogrāfijā, datorredzē (piemēram, autonomai automašīnu vadīšanai), fotogrāfijā, mākslīgajā intelektā, robotikā, videospēlēs un pat filmās. Calculus izmanto arī, lai aprēķinātu radioaktīvās sabrukšanas ātrumu ķīmijā un pat prognozētu dzimstības un mirstības rādītājus, kā arī gravitācijas un planētu kustības, šķidruma plūsmas, kuģu konstrukcijas, ģeometrisko līkņu un tiltu inženierijas pētījumos.

Piemēram, fizikā aprēķinus izmanto, lai palīdzētu definēt, izskaidrot un aprēķināt kustību, elektrību, siltumu, gaismu, harmonikas, akustiku, astronomiju un dinamiku. Einšteina relativitātes teorija balstās uz aprēķiniem, matemātikas jomu, kas arī palīdz ekonomistiem paredzēt, cik lielu peļņu uzņēmums vai nozare var gūt. Un iekšā kuģu būve , aprēķini tiek izmantoti jau daudzus gadus, lai noteiktu gan kuģa korpusa līkni (izmantojot diferenciālrēķinu), gan laukumu zem korpusa (izmantojot integrālo aprēķinu), gan pat kuģu vispārējā projektēšanā.

Turklāt aprēķini tiek izmantoti, lai pārbaudītu atbildes dažādās matemātikas disciplīnās, piemēram, statistikā, analītiskajā ģeometrijā un algebrā.

Aprēķini ekonomikā

Ekonomisti izmanto aprēķinus, lai prognozētu piedāvājumu, pieprasījumu un maksimālo iespējamo peļņu. Galu galā piedāvājums un pieprasījums būtībā ir attēloti uz līknes — un tajā pašā laikā pastāvīgi mainīga līkne.

Ekonomisti izmanto aprēķinus, lai noteiktu pieprasījuma cenu elastība . Viņi atsaucas uz pastāvīgi mainīgo piedāvājuma un pieprasījuma līkni kā “elastīgu” un līknes darbības kā “elastību”. Lai aprēķinātu precīzu elastības mērījumu noteiktā piedāvājuma vai pieprasījuma līknes punktā, jums ir jādomā par bezgalīgi mazām cenu izmaiņām un tā rezultātā savās elastības formulās jāiekļauj matemātiskie atvasinājumi. Calculus ļauj noteikt konkrētus punktus šajā pastāvīgi mainīgajā piedāvājuma un pieprasījuma līknē.

Avots

'Aprēķinu kopsavilkums'. Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts, 2000. gada 10. janvāris, Kembridža, MA.