Viļņu matemātiskās īpašības

PASIEKA/Zinātnes fotobibliotēka/Getty Images

Fiziskie viļņi, vai mehāniskie viļņi , veidojas caur vides vibrāciju, vai tā būtu virkne, Zemes garoza vai gāzu un šķidrumu daļiņas. Viļņiem ir matemātiskas īpašības, kuras var analizēt, lai saprastu viļņa kustību. Šajā rakstā ir izklāstītas šīs vispārīgās viļņu īpašības, nevis tas, kā tās pielietot konkrētās fizikas situācijās.

Šķērsvirziena un garenvirziena viļņi

Ir divu veidu mehāniskie viļņi.

A ir tāda, ka barotnes pārvietojumi ir perpendikulāri (šķērsvirzienā) viļņa virzienam pa vidi. Virknes vibrācija periodiskā kustībā, tāpēc viļņi pārvietojas pa to, ir šķērsvilnis, tāpat kā viļņi okeānā.

A gareniskais vilnis ir tāds, ka vides nobīdes ir uz priekšu un atpakaļ tādā pašā virzienā kā pats vilnis. Gareniskā viļņa piemērs ir skaņas viļņi, kur gaisa daļiņas tiek virzītas kustības virzienā.

Lai gan šajā rakstā aplūkotie viļņi attieksies uz ceļošanu vidē, šeit ieviesto matemātiku var izmantot, lai analizētu nemehānisko viļņu īpašības. Piemēram, elektromagnētiskais starojums spēj pārvietoties pa tukšo telpu, taču tam joprojām ir tādas pašas matemātiskās īpašības kā citiem viļņiem. Piemēram, Doplera efekts skaņas viļņiem ir labi zināms, taču pastāv līdzīgs Doplera efekts gaismas viļņiem , un to pamatā ir tie paši matemātiskie principi.

Kas izraisa viļņus?

1. Viļņus var uzskatīt par traucējumiem vidē ap līdzsvara stāvokli, kas parasti atrodas miera stāvoklī. Šī traucējuma enerģija ir tā, kas izraisa viļņu kustību. Ūdens baseins ir līdzsvarā, kad viļņu nav, bet, tiklīdz tajā tiek iemests akmens, tiek izjaukts daļiņu līdzsvars un sākas viļņu kustība.
2. Viļņa pārvietošanās traucējumi, vai propogē , ar noteiktu ātrumu, ko sauc par viļņu ātrums ( iekšā ).
3. Viļņi transportē enerģiju, bet ne matēriju. Pats medijs neceļo; Atsevišķas daļiņas iziet uz priekšu un atpakaļ vai uz augšu un uz leju ap līdzsvara stāvokli.

Viļņu funkcija

Lai matemātiski aprakstītu viļņu kustību, mēs atsaucamies uz jēdzienu a viļņu funkcija , kas apraksta daļiņas stāvokli vidē jebkurā laikā. Visvienkāršākā no viļņu funkcijām ir sinusoidālais vilnis, kas ir a periodisks vilnis (t.i., vilnis ar atkārtotu kustību).

Ir svarīgi atzīmēt, ka viļņu funkcija neattēlo fizisko vilni, bet drīzāk tas ir nobīdes grafiks par līdzsvara stāvokli. Tas var būt mulsinošs jēdziens, taču noderīgi ir tas, ka mēs varam izmantot sinusoidālu vilni, lai attēlotu lielāko daļu periodisko kustību, piemēram, pārvietošanos pa apli vai svārsta šūpošanos, kas ne vienmēr izskatās kā viļņi, skatoties faktisko kustību. kustība.

Viļņu funkcijas īpašības

viļņu ātrums( iekšā ) - viļņa izplatīšanās ātrums amplitūda( A ) - maksimālais nobīdes lielums no līdzsvara, SI metru vienībās. Kopumā tas ir attālums no viļņa līdzsvara viduspunkta līdz tā maksimālajai nobīdei, vai arī tas ir puse no viļņa kopējās nobīdes. periodā( T ) — ir viena viļņu cikla laiks (divi impulsi vai no smailes līdz virsotnei vai dziļuma līdz minimumam), SI sekunžu vienībās (lai gan to var saukt par “sekundēm ciklā”). biežums( f ) - ciklu skaits laika vienībā. Frekvences SI vienība ir herci (Hz) un

1 Hz = 1 cikls/s = 1 s^-1

leņķiskā frekvence( ak ) - ir 2 Pi reizes frekvence, SI vienībās radiānos sekundē.
• viļņa garums ( l ) - attālums starp jebkuriem diviem punktiem atbilstošās pozīcijās secīgos atkārtojumos viļņā, tātad (piemēram) no vienas smailes vai siles līdz nākamajai, SI mērvienības no metriem.
viļņa numurs( k ) — saukts arī par izplatīšanās konstante , šis noderīgais daudzums ir definēts kā 2 Pi dalīts ar viļņa garumu, tāpēc SI vienības ir radiāni uz metru. pulss- viens pusviļņa garums no līdzsvara atpakaļ

Daži noderīgi vienādojumi, definējot iepriekš minētos daudzumus, ir:

iekšā = l / T = l f

ak = 2 p f = 2 Pi / T

T = 1 / f = 2 Pi / ak

k = 2 Pi / ak

ak = vk

Punkta vertikālā pozīcija uz viļņa, Y , var atrast kā horizontālā stāvokļa funkciju, x un laiks, t , kad mēs to skatāmies. Mēs pateicamies laipnajiem matemātiķiem, kas veica šo darbu mūsu vietā, un iegūstam šādus noderīgus vienādojumus, lai aprakstītu viļņu kustību:

Y ( x, t ) = A bez ak ( t - x / iekšā ) = A bez 2 p f ( t - x / iekšā )

Y ( x, t ) = A bez 2 Pi ( t / T - x / iekšā )

Y( x, t ) = A bez ( ak t - kx )

Viļņu vienādojums

Viena no pēdējām viļņu funkcijas iezīmēm ir pielietošana aprēķins lai ņemtu otro atvasinājumu, iegūst viļņu vienādojums , kas ir intriģējošs un dažkārt noderīgs produkts (par ko vēlreiz pateiksim matemātiķus un pieņemsim, nepierādot):

d ^divi Y / dx ^divi= (1 / iekšā ^divi) d ^divi Y / dt ^divi

Otrais atvasinājums no Y attiecībā uz x ir ekvivalents otrajam atvasinājumam Y attiecībā uz t dalīts ar viļņa ātrumu kvadrātā. Šī vienādojuma galvenā lietderība ir tā kad vien tas notiek, mēs zinām, ka funkcija Y darbojas kā vilnis ar viļņa ātrumu iekšā un tāpēc, situāciju var aprakstīt, izmantojot viļņu funkciju .