Kas ir standarta parastais sadalījums?

Zvanu līknēm ar dažādiem vidējiem un standarta novirzēm ir vienāda vispārējā forma, taču tās atšķiras pēc to centriem un izplešanās. (C.K.Taylor)

Zvana līknes rādīt visā statistikā. Dažādi mērījumi, piemēram, sēklu diametrs, zivju spuru garumi, SAT rādītāji un atsevišķu papīra loksņu svars, veido zvana līknes, kad tās tiek attēlotas. Visu šo līkņu vispārējā forma ir vienāda. Taču visas šīs līknes ir atšķirīgas, jo ir maz ticams, ka kādai no tām ir tāda pati vidējā vai standarta novirze. Zvana līknes ar lielām standarta novirzēm ir platas, un zvanu līknes ar nelielām standarta novirzēm ir vājas. Zvana līknes ar lielākiem rādītājiem tiek pārvietotas vairāk pa labi nekā tās, kurām ir mazāki rādītāji

Piemērs

Lai to padarītu nedaudz konkrētāku, izliksimies, ka mēs izmērām 500 kukurūzas graudu diametrus. Pēc tam mēs ierakstām, analizējam un grafiski veidojam šos datus. Ir konstatēts, ka datu kopa ir veidota kā zvana līkne, un tās vidējais rādītājs ir 1,2 cm ar standarta novirzi 0,4 cm. Tagad pieņemsim, ka mēs darām to pašu ar 500 pupiņām un konstatējam, ka to vidējais diametrs ir 0,8 cm ar standarta novirzi 0,04 cm.

Zvanu līknes no abām šīm datu kopām ir attēlotas iepriekš. Sarkanā līkne atbilst kukurūzas datiem un zaļā līkne atbilst pupiņu datiem. Kā redzam, šo divu līkņu centri un izkliedes ir atšķirīgi.

Tās nepārprotami ir divas dažādas zvanu līknes. Tie ir atšķirīgi, jo to līdzekļi un standarta novirzes nesakrīt. Tā kā jebkurai interesantai datu kopai, ar kuru mēs sastopamies, var būt jebkurš pozitīvs skaitlis kā standarta novirze un jebkurš skaitlis, kas nozīmē vidējo, mēs patiesībā tikai skrāpējam bezgalīgs zvanu līkņu skaits. Tas ir daudz līkņu un pārāk daudz, lai ar tiem tiktu galā. Kāds ir risinājums?

Ļoti īpaša zvana līkne

Viens no matemātikas mērķiem ir vispārināt lietas, kad vien iespējams. Dažkārt vairākas atsevišķas problēmas ir vienas problēmas īpaši gadījumi. Šī situācija, kas saistīta ar zvanu līknēm, ir lielisks piemērs tam. Tā vietā, lai risinātu bezgalīgu skaitu zvanu līkņu, mēs varam tās visas saistīt ar vienu līkni. Šo īpašo zvanu līkni sauc par standarta zvana līkni vai standarta normālo sadalījumu.

Standarta zvana līknes vidējā vērtība ir nulle un standarta novirze viens. Jebkuru citu zvana līkni var salīdzināt ar šo standartu, izmantojot atiešs aprēķins.

Standarta parastā sadalījuma iezīmes

Visas jebkuras zvana līknes īpašības attiecas uz standarta normālo sadalījumu.

• Standarta normālajam sadalījumam ir ne tikai nulles vidējā vērtība, bet arī mediāna un nulles režīms. Tas ir līknes centrs.
• Standarta normālais sadalījums parāda spoguļa simetriju pie nulles. Puse no līknes atrodas pa kreisi no nulles un puse no līknes ir pa labi. Ja līkne būtu salocīta pa vertikālu līniju uz nulli, abas puses lieliski sakristu.
• Standarta normālais sadalījums atbilst 68-95-99,7 likumam, kas dod mums vienkāršu veidu, kā novērtēt:
  • Aptuveni 68% no visiem datiem ir no -1 līdz 1.
  • Apmēram 95% no visiem datiem ir no -2 līdz 2.
  • Aptuveni 99,7% no visiem datiem ir no -3 līdz 3.

Kāpēc mums rūp

Šajā brīdī mēs varam jautāt: kāpēc uztraukties ar standarta zvana līkni? Tas var šķist nevajadzīgs sarežģījums, taču standarta zvana līkne būs noderīga, turpinot statistiku.

Mēs atklāsim, ka viena veida problēmas statistikā mums ir jāatrod apgabali zem jebkuras zvana līknes daļām, ar kurām mēs sastopamies. Zvana līkne nav piemērota apgabaliem. Tas nav kā taisnstūris vai taisnleņķa trīsstūris kam ir viegli laukuma formulas . Zvana līknes daļu apgabalu atrašana var būt sarežģīta, patiesībā tik sarežģīta, ka mums būtu jāizmanto daži aprēķini. Ja mēs nestandartizēsim zvana līknes, mums būs jāveic aprēķini katru reizi, kad vēlamies atrast apgabalu. Ja mēs standartizējam savas līknes, viss laukumu aprēķināšanas darbs ir paveikts mūsu vietā.