Kāda ir divu kopu atšķirība kopu teorijā?

Kopu atšķirību ilustrācija ar Venna diagrammu

Venna diagrammas sarkanais apgabals apzīmē kopu A - B. C.K.Taylor





Divu komplektu atšķirība, rakstīts A - B ir visu elementu kopums A kas nav elementi B . Atšķirības darbība kopā ar savienību un krustojumu ir svarīga un pamatkopu teorijas darbība .

Atšķirības apraksts

Par viena skaitļa atņemšanu no cita var domāt daudz un dažādi. Viens modelis, kas palīdz izprast šo jēdzienu, tiek saukts par līdzņemamo modeli atņemšana . Šajā gadījumā problēma 5 - 2 = 3 tiktu parādīta, sākot ar pieciem objektiem, noņemot divus no tiem un saskaitot, ka palikuši trīs. Līdzīgi kā mēs atrodam atšķirību starp diviem skaitļiem, mēs varam atrast atšķirību starp divām kopām.



Piemērs

Apskatīsim iestatītās atšķirības piemēru. Lai redzētu, kā atšķiras divi komplekti veido jaunu kopu, apskatīsim kopas A = {1, 2, 3, 4, 5} un B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Lai atrastu atšķirību A - B no šīm divām kopām mēs sākam, rakstot visus elementus A , un pēc tam noņemiet katru elementu A tas arī ir elements B . Kopš A koplieto elementus 3, 4 un 5 ar B , tas dod mums noteikto atšķirību A - B = {1, 2}.

Pasūtījums ir svarīgs

Tāpat kā atšķirības 4 - 7 un 7 - 4 sniedz mums dažādas atbildes, mums jābūt uzmanīgiem attiecībā uz secību, kādā mēs aprēķinām noteikto starpību. Izmantojot tehnisko terminu no matemātikas, mēs teiktu, ka atšķirības kopas darbība nav komutatīva. Tas nozīmē, ka kopumā mēs nevaram mainīt divu kopu starpības secību un sagaidīt tādu pašu rezultātu. Precīzāk to varam pateikt visiem komplektiem A un B , A - B nav vienāds ar B - A .



Lai to redzētu, skatiet iepriekš minēto piemēru. Mēs to aprēķinājām komplektiem A = {1, 2, 3, 4, 5} un B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, starpība A - B = {1, 2}. Lai to salīdzinātu ar B - A, mēs sākam ar elementiem B , kas ir 3, 4, 5, 6, 7, 8, un pēc tam noņemiet 3, 4 un 5, jo tie ir kopīgi ar A . Rezultāts ir B - A = {6, 7, 8}. Šis piemērs mums to skaidri parāda A–B nav vienāds ar BA .

Papildinājums

Viena veida atšķirība ir pietiekami svarīga, lai garantētu savu īpašo nosaukumu un simbolu. To sauc par papildinājumu, un to izmanto noteiktajai atšķirībai, kad pirmais komplekts ir universāls komplekts. Papildinājums A tiek dots ar izteiksmi IN - A . Tas attiecas uz visu universālās kopas elementu kopu, kas nav elementi A . Tā kā ir saprotams, ka elementu kopums kurus mēs varam izvēlēties, ir ņemti no universālā komplekta, mēs varam vienkārši teikt, ka papildinājums A ir kopa, kas sastāv no elementiem, kas nav elementi A .

Komplekta papildinājums ir saistīts ar universālo komplektu, ar kuru mēs strādājam. Ar A = {1, 2, 3} un IN = {1, 2 ,3, 4, 5}, papildinājums A ir {4, 5}. Ja mūsu universālais komplekts atšķiras, teiksim IN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, tad papildinājums A {-3, -2, -1, 0}. Vienmēr noteikti pievērsiet uzmanību tam, kāds universālais komplekts tiek izmantots.

Papildinājuma apzīmējums

Vārds 'papildināt' sākas ar burtu C, un tāpēc tas tiek izmantots apzīmējumā. Komplekta papildinājums A ir rakstīts kā A C. Tātad papildinājuma definīciju mēs varam izteikt simbolos kā: A C= IN - A .



Vēl viens veids, ko parasti izmanto kopas papildinājuma apzīmēšanai, ietver apostrofu, un tas tiek rakstīts kā A '.

Citas identitātes, kas ietver atšķirību un papildina

Ir daudz kopu identitāšu, kas ietver atšķirību un papildināšanas operāciju izmantošanu. Dažas identitātes apvieno citas kopas darbības, piemēram, krustojums un savienība . Tālāk ir norādīti daži no svarīgākajiem. Visiem komplektiem A , un B un D mums ir:



  • A - A =∅
  • A - ∅ = A
  • ∅ - A = ∅
  • A - IN = ∅
  • ( A C)C= A
  • DeMorgana likums I: ( AB )C= A CB C
  • DeMorgana likums II: ( AB )C= A CB C